Introduzione

1. Introduzione

In questo capitolo introdurremo una serie di famiglie parametriche di distribuzioni che hanno un ruolo di particolare importanza in statistica. In alcuni casi, queste distribuzioni sono rilevanti perché si presentano come limite di altre. In altri casi, l'importanza di una distribuzione deriva dal fatto che può essere utilizzata per modellare un'ampia varietà di fenomeni aleatori. Ciò è di solito importante perché queste famiglie presentano un'ampia varietà di densità con un numero limitato di parametri (di solito uno o due). Come principio generale, è uile modellare un fenomeno aleatorio col minor numero possibile di parametri; questo è noto come principio di parsimonia. Questo, tra l'altro, è un riflesso particolare del rasoio di Occam, che prende il nome da Guglielmo di Occam; tale principio stabilisce che per descrivere un certo fenomeno è sempre meglio utilizzare il modello più semplice.

Molte altre famigile parametriche di distribuzioni sono presentate altrove in questo ipertesto, poiché la loro posizione naturale è accanto ai processi aleatori a cui si riferiscono, ovvero:

Prima di iniziare lo studio delle famiglie parametriche notevoli, studieremo due famiglie parametriche generali. La maggior parte delle distribuzioni che saranno presentate in questo capitolo appartengono a una o a entrambe queste famiglie generali.

Famiglie di posizione e scala

$Esercizio teorico$ 1. Supponiamo che una variabile casuale Z a valori reali abbia una distribuzione continua con funzione di densità g e funzione di ripartizione G. Siano a e b costanti con b > 0. Dimostrare che X = a + bZ ha funzione di densità f e funzione di ripartizione F, con

F(x) = G[(x - a) / b]
f(x) = (1 / b) g[(x - a) / b]

Questa famiglia a doppio parametro è indicata come famiglia di posizione e scala associata alla distribuzione data; a è detto parametro di posizione e b parametro di scala. Nel caso in cui b = 1, la famiglia possiede un solo parametro ed è detta famiglia di posizione associata alla distribuzione data; nel caso in cui a = 0, si parla invece di famiglia di scala.

$Esercizio teorico$ 2. Interpretare graficamente i parametri di posizione e di scala:

Per la famiglia di posizione associata a g, mostrare che il grafico di f si ottiene traslando il grafico di g di a unità, a destra se a > 0 o a sinistra se a < 0.
Per la famiglia di scala associata a g, mostrare che, se b > 1, il grafico di f si ottiene stirando in senso orizzontale e comprimendo in senso verticale il grafico di g secondo il fattore b. Se 0 < b < 1, il grafico di f si ottiene comprimendo orizzontalmente e stirando verticalmente il grafico di g secondo il fattore b.

$Esercizio teorico$ 3. Dimostrare che se Z ha moda z, X ha moda x = a + bz.

Il seguente esercizio mette in relazione le funzioni quantile.

$Esercizio teorico$ 4. Mostrare che

F^-1(p) = a + bG^-1(p) per p in (0, 1).
Se z è un quantile di ordine p di Z, allora x = a + bz è un quantile di ordine p di X.

$Esercizio teorico$ 5. Mostrare che la distribuzione uniforme sull'intervallo (a, a + b), con parametri a appartenenete ad R e b > 0 è una famiglia di posizione e scala.

$Esercizio teorico$ 6. Sia g(z) = exp(-z) con z > 0. Questa è la funzione di densità della distribuzione esponenziale con parametro 1.

Trovare la famiglia di posizione e scala delle densità.
Disegnare i grafici.

La famiglia di distribuzioni dell'esercizio precedente è nota come distribuzione esponenziale a due parametri.

$Esercizio teorico$ 7. Sia g(z) = 1 / [(1 + z²)] con z appartenente a R. Questa è la densità della distribuzione di Cauchy, che prende il nome da Augustin Cauchy.

Trovare la famiglia di posizione e scala delle densità.
Disegnare i grafici.

L'esercizio seguente evidenzia le relazioni tra medie e varianze.

$Esercizio teorico$ 8. Mostrare che

E(X) = a + bE(Z)
var(X) = b²var(Z)

L'esercizio seguente esamina le relazioni tra le funzioni generatrici dei momenti:

$Esercizio teorico$ 9. Si supponga che Z abbia funzione generatrice dei momenti M. Si mostri che la funzione generatrice dei momenti di X è data da:

N(t) = exp(ta)M(tb).

Famiglie esponenziali

Supponiamo che X sia una variabile casuale a valori in S, e che la sua distribuzione dipenda da un parametro a, che assume valori in uno spazio parametrico A. In generale, sia X che a possono essere vettori e non scalari. Indicheremo con f(x | a) la funzione di densità di X in x appartenente a S, individuata da a in A.

La distribuzione di X è una famiglia esponenziale a k parametri se S non dipende da a e se la funzione di densità f può essere scritta come:

f(x | a) = c(a)r(x) exp[_i_{= 1, ...,}_k b_i(a)h_i(x)] con x S, a A.

dove c e b₁, b₂, ..., b_k sono funzioni in A, e r e h₁, h₂, ..., h_k funzioni in S. Si assume inoltre che k sia il più piccolo possibile. I parametri b₁(a), b₂(a), ..., b_k(a) sono a volte indicati come parametri naturali della distribuzione, e le variabili casuali h₁(X), h₂(X), ..., h_k(X) come statistiche naturali della distribuzione.

$Esercizio teorico$ 10. Supponiamo che X abbia distribuzione binomiale con parametri n e p, dove n è dato e p appartiene a (0, 1). Si mostri che questa distribuzione è una famiglia esponenziale a un parametro, con parametro naturale ln[(p / (1 - p)] e statistica naturale X.

$Esercizio teorico$ 11. Si abbia X con distribuzione di Poisson con parametro a > 0. Si mostri che tale distribuzione è una famiglia esponenziale a un parametro, con parametro naturale ln(a) e statistica naturale X.

$Esercizio teorico$ 12. Sia X con distribuzione binomiale negativa a parametri k e p, con k noto e p appartenente a (0, 1). Mostrare che la distribuzione è una famiglia esponenziale a un parametro, con parametro naturale ln(1 - p) e statistica naturale X.

In molti casi, la distribuzione di una variabile casuale X non può essere una famiglia esponenziale se il supporto definito qui sotto dipende da a.

{x: f(x | a) > 0}.

$Esercizio teorico$ 13. Sia X distribuita uniformemente su (0, a), con a > 0. Mostrare che la distribuzione di X non è una famiglia esponenziale.

L'esercizio seguente mostra che se si estrae un campione dalla distribuzione di una famiglia esponenziale, allora la distribuzione del campione casuale è anch'essa una famiglia esponenziale con la stessa statistica naturale.

$Esercizio teorico$ 14. Supponiamo che la distribuzione di una variabile aleatoria X sia una famiglia esponenziale a k parametri, con parametri naturali b₁, b₂, ..., b_k, e statistiche naturali h₁(X), h₂(X), ..., h_k(X). Siano X₁, X₂, ..., X_n variabili casuali indipendenti e identicamente distribuiti come X. Dimostrare che Y = (X₁, X₂, ..., X_n) è una famiglia esponenziale a k parametri, con parametri naturali b₁, b₂, ..., b_k, e statistiche naturali

u_j(Y) = _i_{= 1, ...,} _n h_j(X_i) per j = 1, 2, ..., k.