La distribuzione di Weibull

10. La distribuzione di Weibull

In questo paragrafo studieremo una famiglia di distribuzioni di particolre rilievo per gli studi di affidabilità.

La distribuzione di Weibull semplice

$Esercizio teorico$ 1. Mostra che la funzione riportata sotto è una funzione di densità di probabilità per ogni k > 0:

f(t) = k t^k ^{- 1} exp(-t^k), t > 0.

Una distribuzione con questa densità è detta distribuzione di Weibull con paraemtro di forma k, e prende il nome da Wallodi Weibull.

2. Nell'applet variabile casuale, scegli la distribuzione di Weibull. Modifica il parametro di forma e osserva la forma e la posizione della funzione di densità. Poni k = 2, e simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.

L'esercizio seguente spiega perché k si dice parametro di forma.

$Esercizio teorico$ 3. Disegna la funzione di densità. Mostra in particolare che

f è a forma di u se 0 < k < 1.
f è decrescente se k = 1.
f è unimodale se k > 1 con moda a [(k - 1) / k]^1/k.

$Esercizio teorico$ 4. Dimostra che la funzione di ripartizione è

F(t) = 1 - exp(-t^k), t > 0.

$Esercizio teorico$ 5. Mostra che la funzione quantile è

F^-1(p) = [-ln(1 - p)]^1/k per 0 < p < 1.

6. Nell'applet quantile applet, seleziona la distribuzione di Weibull. Modifica il parametro di forma e osserva la forma e la posizione delle funzioni di densità e di ripartizione.

$Esercizio teorico$ 7. Per k = 2, Trova la mediana, il primo e il terzo quartile e lo scarto interquartile.

$Esercizio teorico$ 8. Mostra che la funzione di affidabilità è

G(t) = exp(-t^k), t > 0.

$Esercizio teorico$ 9. Mostra che la funzione tasso di guasto è

h(t) = k t^k ^{- 1} per t > 0.

$Esercizio teorico$ 10. Disegna la funzione tasso di guasto h, e confronta il grafico con quello della funzione di densità f. Mostra in particolare che

h è decrescente per k < 1
h è costante per k = 1 (distribuzione esponenziale).
h è crescente per k > 2.

Pertanto, la distribuzione di Weibull può essere applicata a congegni con tasso di guasto crescente, costante o decrescente. Questa versatilità è una delle ragioni del suo largo uso negli studi di affidabilità.

Supponi che X abbia distribuzione di Weibull con parametro di forma k. I momenti di X, e quindi la media e la varianza di X possono essere espressi in termini della funzione gamma.

$Esercizio teorico$ 11. Dimostra che E(Xⁿ) = gam(1 + n / k) per n > 0. Suggerimento: Nell'integrale di E(Xⁿ), sostituisci u = t^k. Semplifica e riconosci l'integrale della funzione gamma.

$Esercizio teorico$ 12. Usa il risultato dell'esercizio precedente per mostrare che

E(X) = gam(1 + 1 / k).
var(X) = gam(1 + 2 / k) - gam²(1 + 1 / k).

13. Nell'applet variabile casuale, scegli la distribuzione di Weibull. Modifica il parametro di forma e osserva la forma e la posizione della barra media/deviazione standard. ponendo k = 2, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.

La distribuzione di Weibull generalizzata

Si usa generalizzare la distribuzione di Weibull introducendo un parametro di scala b. Così, se Z ha distribuzione di Weibull con parametro di forma k, allora X = bZ ha distribuzione di Weibull con parametro di forma k e parametro di scala b.

Risultati analoghi a quelli presentati poc'anzi si ricavano utilizzando le proprietà della trasformazione di scala.

$Esercizio teorico$ 14. Mostra che la funzione di densità è

f(t) = (k t^k - 1 / b^k) exp[-(t / b)^k], t > 0.

Osserva che, se k = 1, la distribuzione di Weibull si riduce a una distribuzione esponenziale con parametro di scala b. Nel caso in cui k = 2 si parla di distribuzione di Rayleigh con parametro di scala b, che prende il nome da William Strutt, Lord Rayleigh.

Ricorda che l'inserimento di un parametro di scala non modifica la forma della funzone di densità, pertanto i risultati degli esercizi 3 e 10 restano validi con la seguente eccezione:

$Esercizio teorico$ 15. Mostra che, per k > 1, la moda è b [(k - 1) / k]^1/k.

16. Nell'applet variabile casuale, scegli la distribuzione di Weibull. Modifica i parametri e osserva la forma e la posizione della funzione di densità. Poni k = 3 e b = 2, e simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della funzione di densità empirica a quella teorica.

$Esercizio teorico$ 17. Mostrare che la funzione di riaprtizione è

F(t) = 1 - exp[-(t / b)^k], t > 0.

$Esercizio teorico$ 18. Mostrare che la funzione quantile è

F^-1(p) = b [-ln(1 - p)]^1/k per 0 < p < 1.

$Esercizio teorico$ 19. Mostra che la funzione di affidabilità è

G(t) = exp[-(t / b)^k], t > 0.

$Esercizio teorico$ 20. Mostra che la funzione tasso di guasto è

h(t) = k t^k - 1 / b^k.

$Esercizio teorico$ 21. Dimostrare che E(Xⁿ) = bⁿ gam(1 + n / k) per n > 0.

$Esercizio teorico$ 22. Dimostrare che

E(X) = b gam(1 + 1 / k).
var(X) = b²[gam(1 + 2 / k) - gam²(1 + 1 / k)].

23. Nell'applet variabile casuale, scegli la distribuzione di Weibull. Modifica i parametri e osserva la dimensione e la posizione della barra media/deviazione standard. Poni k = 3 e b = 2, e simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.

$Esercizio teorico$ 24. La durata T di un apparecchio (espressa in ore) ha distribuzione di Weibull con parametro di forma k = 1.2 e parametro di scala b = 1000.

Trova la probabilità che l'apparecchi duri almeno 1500 ore.
Approssima media e deviazione standard di T.
Calcola la funzione tasso di guasto.

Trasformazioni

Esiste una semplice trasformazione biunivoca tra le variabili casuali con distribuzione di Weibull e quelle con distribuzione esponenziale.

$Esercizio teorico$ 25. Dimostra che

Se X ha distribuzione esponenziale con parametro 1, allora Y = b X^1/k ha distribuzione di Weibull con parametro di forma k e parametro di scala b.
Se Y ha distribuzione di Weibull con parametro di forma k e parametro di scala b, allora X = (Y / b)^k ha distribuzione esponenziale con parametro 1.

L'esercizio seguente ribadisce il fatto che b è un parametro di scala.

$Esercizio teorico$ 26. Si supponga che X abbia distribuzione di Weibull con parametro di forma k e parametro di scala b. Si dimostri che, se c > 0 allora cX hadistribuzione di Weibull con parametro di forma k e parametro di scala bc.

$Esercizio teorico$ 27. Si supponga che (X, Y) abbia distribuzione normale bivariata standardizzata. Si dimostri che la distanza in coordinate polari R riportata qui sotto ha distribuzione di Rayleigh con parametro di scala 2^1/2:

R = (X² + Y²)^1/2.