1. Usa il teorema del cambiamento di variabile per dimostrare che la funzione di densità lognormale con parametri µ e d, è data da Laboratorio virtuale > Distribuzioni notevoli > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [14] 15
Una variabile casuale X ha distribuzione lognormale, con parametri µ e d, se ln(X) ha distribuzione normale con media µ e deviazione standard d. Equivalentemente
X = exp(Y)
dove Y è distribuita normalmente con media µ e deviazione standard d. Ricorda che il parametro µ può essere un qualsiasi reale, mentre d dev'essere positivo. La distribuzione lognormale si utilizza per modellare quantità aleatorie continue che si ritengono avere distribuzione asimmetrica, ad esempio certi tipi di reddito o la speranza di vita.
1. Usa il teorema del cambiamento di variabile per dimostrare che la funzione di densità lognormale con parametri µ e d, è data da
f(x) = exp{-[ln(x) - µ]2 / (2d2)]
/ [x (2
)1/2
d] for x > 0.
2. Dimostrare che la distribuzione lognormale è unimodale e asimmetrica a destra.
Mostrare in particolare che
0 per x
.
0 per x
0+.
3. Nell'appletvariabile casuale, seleziona la distribuzione lognormale. Modifica i parametri e osserva la forma e la posizione della funzione di densità. Ponendo µ = 0 e d = 1, simula 1000 replicaziuni aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza della densità empirica a quella teorica.
Sia G la funzione di ripartizione della distribuzione normale standardizzata. Ricorda che i valori di G sono tabulati e possono essere ottenuti dall'axplet quantile. Gli esercizi seguenti mostrano come calcolare la funzione di ripartizione e i quantili utilibzando la funrione di riaprtizione e i quantili della normale standardizzata.
4. Mostra che la funzione di ripartizione F della distribuzione lognormale è data da
F(x) = G{[-µ + ln(x)] / d} per x > 0.
5. Prova che la funzione quantile è data da
F-1(p) = exp[µ + d G-1(p)] per 0 < p < 1.
6. Supponi che il reddito (in migliaia di euro) X di un individuo preso a caso da una certa popolazione abbia distribuziore lognormale con parametri µ = 2 e d = 1. Trova P(X > 20).
7. Nell'applet quantile, seleziona la distribuzione lognormale. Modifica i parametri e osserva la forma e la posizione delle funzioni di densità e di ripartizione. Ponendo µ = 0 and d = 1, trova la mediana e il primo e il terzo quartile.
I momenti della distribuzione lognormale possono essere calcolati sulla base della funzione generatrice dei momenti della distribuzione normale.
8. Si supponga
E(Xn) = exp(nµ + n3d2 / 2).
9. Si mostri che media e
varianza di X valgono
Anche se la distribuzione lognormale ha momenti finiti di qualsiasi ordine, la funzione generatrice dei momenti è infinita per ogni numero positivo. Questa proprietà è una delre ragioni della notorietà della distribuzione lognormale.
10. Prova che E[exp(tX)] =
per ogni t > 0.
11. Supponi che il reddito (in migliaia di euro) X di un individuo preso a caso da una certa popolazione abbia distribuzione lognormale con parametri µ = 2 e d = 1. Trova
12. Nell'appletvariabile casuale, seleziona la distribuzione lognormale. Modifica i parametri e osserva la dimensione e la posizione della barra media/deviazione standard. Ponendo µ = 0 e d = 1, simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10. Osserva la convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.
Le trasformazioni più rilevanti sono quelle già presentate nella definizione di questa distribuzione: se X ha distribuzione lognormale, allora ln(X) ha distribuzione normale; di converso, se Y ha distribuzione normale, allora exp(Y) ha distribuzione lognormale.
13. Dato un certo d, mostra che la distribuzione lognormale con parametri µ e d
è una famiglia di scala con parametro di scala exp(µ).
14. Prova che la distribuzione lognormale è una famiglia esponenziale a due parametri con parametri naturali e statische naturali dati da