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11. La distribuzione zeta

La distribuzione zeta si usa per modellare la dimensione di certi tipi di oggetti estratti casualmente da certi tipi di popolazioni. Esempi classici sono la lunghezza di una parola scelta casualmente da un testo o la popolazione di una città scelta a caso in un certo paese. La distribuzione zeta è nota anche come distribuzione di Zipf, in onore del linguista Americano George Zipf.

La funzione zeta

La funzione zeta di Riemann, che prende il nome da Bernhard Riemann, è definita come:

z(a) = _{n = 1, 2, ...} 1 / n^a. per a > 1.

(Ricorda che, la serie nella funzione zeta converge per a > 1 ed esplode per a 1). Riportiamo qui sotto il grafico della funzione zeta nell'intervallo (1, 10):

1. Prova a verificare analiticamente le proprietà del grafico. Mostra in particolare che

1. z(a) decresce per a > 1.
2. z(a) è concava verso l'alto per a > 1.
3. z(a) 1 as a .
4. z(a) as a 1⁺.

La zeta è una funzione trascendente, e la maggior parte dei valori che assume devono essere ottenuti per approssimazione. Si possono però individuare gli z(a) per valori interi e pari di a; in particolare,

z(2) = ² / 6, z(4) = ⁴ / 90.

Funzione di densità

2. Mostra che la funzione f qui sotto riportata è una funzione di densità di probabilità discreta per ogni a > 1.

f(n) = 1 / [n^a z(a)] per n = 1, 2, ...

La distribuzione discreta definita nell'esercizio 2 è detta distribuzione zeta con parametro a.

3. Sia X la lunghezza di una parola scelta a caso da un testo, e si supponga che X abbia distribuzione zeta con parametro a = 2. Si trovi P(X > 4).

4. Supponi che X abbia distribuzione zeta con parametro a. Dimostra che questa distribuzione è una famiglia esponenziale a un parametro con parametro naturale a e statistica naturale -ln(X).

Momenti

I momenti della distribuzione zeta possono essere espressi semplicemente in termini della funzione zeta.

5. Supponi che X abbia distribuzione zeta con parametro a > k + 1. Dimostra che

E(X^k) = z(a - k) / z(a).

6. Mostra in particolare che

1. E(X) = z(a - 1) / z(a) if a > 2
2. var(X) = z(a - 2) / z(a) - [z(a - 1) / z(a)]² se a > 3.

7. Sia X la lunghezza di una parola scelta a caso da un testo; supponi che X abbia distribuzione zeta con parametro a = 4. Trova il valore approssimato di

1. E(X)
2. sd(X)

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