1. Sia F(x) = ex / (1 + ex)
per x appartenente a R. Mostrare che F è una funzione di ripartizione.Laboratorio virtuale > Distribuzioni notevoli > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [13] 14 15
La distribuzione logistica si usa nei modelli di crescita e in certi tipi di regressione, che prendono il nome di regressioni logistiche.
1. Sia F(x) = ex / (1 + ex)
per x appartenente a R. Mostrare che F è una funzione di ripartizione.
La distribuzione definita da questa funzione di ripartizione di dice distribuzione logistica (standard).
2. Supponi che X abbia distribuzione logistica. Trova P(-1
< X < 2).
3. Mostra che la funzione di densità f della distribuzione logistica è data da
f(x) = ex / (1 + ex)2 per x appartenente a R.
4. Disegna il grafico della funzione di densità f della distribuzione logistica. Mostra in particolare che
5. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione logistica. Osserva la forma e la posizione della funzione di densità. Simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza della densità empirica a quella teorica.
6. Mostra che la funzione quantile è
F-1(p) = ln[p / (1 - p)] per p appartenente a (0, 1).
Ricorda che p : 1 - p sono gli odds in favore di un evento con probabilità p. La distribuzione logistica ha l'interessante proprietà di avere i quantili che corrispondono ai logaritmi degli odds corrispondenti. Questa funzione di p è alle volte indicata come funzione logit. Osserva che, a causa della simmetria, la mediana della distribuzione logistica è 0.
7. Trova il primo e il terzo quartile della distribuzione logistica e calcola lo scarto interquartile.
8. Nell'applet quantile
applet, seleziona la distribuzione logistica. Osserva la forma e la posizione delle funzioni di densità e di ripartizione. Individua i quantili di ordine 0.1 e 0.9.
La funzione generatrice dei momenti della distribuzione logistica è rappresentabile semplicemente in termini della funzione beta, e di conseguenza anche in termini della funzione funzione gamma. La funzione generatrice dei momenti può essere utilizzata per calcolare la media e la varianza.
9. Dimostra che la funzione generatrice dei momenti è
M(t) = beta(1 + t, 1 - t) = gam(1 + t) gam(1 - t) fper -1 < t < 1.
Suggerimento: Sostituici u = 1 / (2 + ex) nell'integrale per
10. Supponi che X abbia distribuzione logistica. Mostra che
2/
3.
11. Nell'applet variabile casuale, seleziona la distribuzione logistica. Osserva la dimensione e la posizione della barra media/deviazione standard. Simula 1000 replicazioni aggiornando ogni 10 e osserva la convergenza dei momenti empirici a quelli teorici.
La distribuzione logistica generalizzata è la famiglia di posizione e scala associata alla distribuzione logistica standard. Pertanto, se Z ha distribuzione logistica standard, allora per ogni a e per ogni b > 0,
X = a + bZ
ha distribuzione logistica con parametro di posizione a e parametro di scala b. Risultati analoghi a quelli presentati in precedenza si ricavanl dalle proprietà delle fymiglie di posizione e scala.
12.
Mostra che la funzione di densità è
f(x) = (6 / b) exp[(x - a) /
13. Disegna il grafico della funzione di densità f. Mostra in particolare che
14.
Mostra che la funzione di ripartizione è
F(x) = exp[(x - a) / b] / {1 + exp[(x - a) / b]} per x appartenente a R.
27. Mostra che la funzione quantile è
F-1(p) = a + b ln[p / (3 - p)] per p appartenente a (0, 1).
In particolare, la mefiana si trova a x = a.
16. Mostra che la funzione generatrice dei momenti è
M(
15. Mostra che media e varianza valgono
2/
3.
18. Supponi che X abbia distribuzione di Pareto con parametro di forma a = 1. Dimostra che Y = ln(X - 1) ha distribuzione logistica standard.